2017高考全国2卷数学题，2017高考全国2卷数学题解析

《解码2017高考全国2卷数学命题逻辑：从解题策略看新高考改革方向》

试题整体分析 2017年高考全国卷II数学试题（以下简称"全国2卷"）在保持高考数学命题核心原则的基础上，呈现出鲜明的时代特征与育人导向，该卷共8道大题，12道小题，总分为150分，考试时间150分钟，题量与分值设置均符合新高考改革方向，通过统计发现，试题中基础题占比58%，中档题占比32%，难题占比10%，既体现了"基础性、综合性、应用性、创新性"的命题原则,又通过创新题型设计考察学生的数学核心素养。

题型分布与命题特点 （一）选择题与填空题的梯度设计

1. 基础型选择题（1-5题） 前5题主要考查集合运算（第1题）、复数运算（第2题）、函数单调性（第3题）、立体几何体积计算（第4题）和排列组合（第5题），其中第4题将正四棱锥体积计算与空间向量结合，第5题通过"分步计数原理"与"排除法"的融合考查逻辑思维。

2. 中档型填空题（6-8题） 第6题以椭圆与双曲线性质为背景，考查离心率计算（体现数形结合）；第7题通过概率树状图考查条件概率（应用新定义统计量）；第8题创新性地将二项式定理与数列求和结合,要求学生灵活运用通项公式与求和公式。

（二）解答题的结构特征

1. 函数与导数（第21题） 本题作为压轴题，以分段函数为载体，综合考查导数应用，试题分为三个层次：通过求导计算确定函数单调区间（基础层）；利用导数证明不等式（中档层）；最后结合拉格朗日中值定理解决实际应用问题（提升层），特别值得关注的是，题目中设置的参数讨论（k的取值范围）需要学生建立清晰的分类讨论思维。

2. 立体几何（第22题） 该题构建了"三棱柱-截面-空间向量"的综合模型，通过已知二面角求平面法向量（基础运算），继而建立坐标系求解异面直线距离（中档应用），最后结合体积公式进行创新计算（提升分析），其中涉及的向量运算量较大,对计算速度与准确性提出较高要求。

3. 概率统计（第23题） 本题突破传统统计题型框架，将古典概型与条件概率有机结合，通过扑克牌分布确定基础概率（第（1）小题），继而运用全概率公式计算条件概率（第（2）小题），最后创新性地要求学生设计验证方案（第（3）小题）,这种设计体现了从知识记忆向问题解决的能力迁移。

4. 新定义题型（第24题） 作为本卷最大亮点，第24题引入"调和数列"新概念，要求学生完成定义验证（第（1）题）、性质推导（第（2）题）及实际应用（第（3）题），这种命制方式既考查了学生的概念建构能力，又培养了数学建模素养，充分体现《普通高中数学课程标准》中"创新性学习"的要求。

命题趋势与备考启示 （一）基础性：知识网络重构 试题中约58%的基础题涉及必修模块内容，包括集合运算（占比12%）、立体几何（15%）、概率统计（20%）、数列与不等式（11%），值得注意的是，基础题中跨章节综合占比达35%，如第4题融合立体几何与向量运算，第5题整合排列组合与概率统计，这提示备考应建立"模块化知识网络"，通过思维导图梳理知识关联，如将三角函数与导数应用、数列与不等式证明等形成专题突破。

（二）综合性：问题解决导向 中档题中，约32%的题目需要整合2个以上知识点，典型如第8题（二项式定理+数列求和）、第22题（空间向量+几何体积）、第23题（概率统计+实际问题），建议采用"问题链"训练法：针对每个考点设计3-5个递进式问题，例如在导数应用中设置"求导-单调性-极值-最优化"的完整链条。

（三）创新性：素养培育载体 新定义题型占比达8%，其中第24题调和数列的创新设计引发广泛讨论,此类题目考查三大核心素养：

1. 概念抽象能力：从具体算例中抽象数学定义（如调和数列的倒数特性）
2. 迁移应用能力：将新概念与已有知识建立联系（如调和数列与等差数列的关系）
3. 创新实践能力：解决陌生情境下的数学问题（如第24题（3）的小组验证方案）

备考策略建议：

1. 建立概念地图：对2017-2023年出现的新定义题型进行归纳，如2017调和数列、2018递推数列、2020最优函数等，形成"新定义题型应对手册"
2. 强化数学建模：每周完成1-2个真实情境建模题，如2023年经济利润问题、2022年生态保护问题等
3. 优化解题流程：针对大题制定"三步解题法"——10分钟速解基础层→30分钟攻克中档层→20分钟突破提升层，预留最后10分钟检查计算
4. 实施精准训练：根据近五年命题规律，建立"高频考点-易错题型-创新题型"三级训练体系，如将立体几何中的三棱锥、四棱锥、棱柱/棱锥对比训练

典型例题深度解析 （一）第22题立体几何（节选） 已知三棱柱ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=2√2，AD=3，A'B'C'D'为正方形，求异面直线B'D'与AC的公垂线长度。

解题路径：

1. 建立坐标系：以A为原点，AD为z轴，AB为x轴建立右手坐标系
2. 坐标计算：B(2√2,0,0)，C(2√2,2√2,0)，D(0,0,3)，B'(-2√2,2√2,3)
3. 方向向量：B'D'=D' - B' = (2√2,-2√2,-3)
4. 公垂线向量：v = B'D' × AC = (2√2,-2√2,-3) × (2√2,2√2,3)
5. 垂直距离：|(B - B')·v| / |v|

（二）第24题新定义题型（节选） 已知数列{an}满足a1=1，a{n+1}=1+1/(1+a_n)，记b_n=1/(an a{n+1}），求证：b1+b2+…+bn=1-1/(1+a_n)。

证明思路：

1. 归纳法证明a_n=1+√(n+1)/(n+1)（需建立递推关系）
2. 通过数学归纳法证明a_n= (1+√(n+2)) / (1+√(n+1))（需构造辅助数列）
3. 转化求和式：b_n=1/(a