高考数学最值，高考数学最值问题

突破瓶颈的四大核心策略与实战案例解析

（全文约2580字）

高考数学最值问题命题趋势分析 近五年高考数学全国卷及地方卷中，最值问题占比稳定在12%-15%，且呈现三个显著特征：一是多学科交叉性增强，如导数与解析几何结合占比提升至37%；二是复杂情境设置率提高，2023年新高考II卷出现"函数与几何综合最值题"；三是创新题型涌现，如2022年浙江卷的"参数不等式最值嵌套题"，最新考试说明显示，2024年最值题将重点考察函数与几何的综合应用，建议考生重点突破二次函数、导数应用、三角函数、解析几何四大核心模块。

四大核心解题策略详解 （一）二次函数最值突破法

1. 定义域约束下的最值分析 例：求f(x)=|x²-4x+3|在[-1,5]上的最值 解：先解方程x²-4x+3=0得x=1或x=3，将区间分为[-1,1]、(1,3)、[3,5]三段 在[-1,1]段，f(x)=-(x²-4x+3)=-x²+4x-3，顶点x=2不在此区间，取端点值f(-1)=8，f(1)=0 在(1,3)段，f(x)=x²-4x+3，顶点x=2在区间内，f(2)=-1 在[3,5]段，f(x)=x²-4x+3，顶点x=2不在此区间，取端点值f(3)=0，f(5)=8 综上，最大值8，最小值-1（需取绝对值后为1）

2. 判别式法的创新应用 例：已知a>0，求f(x)=x²+2ax+2/(x²+2ax+1)的最小值 解：设t=x²+2ax+1≥a²（当x=-a时取等号） 则f(x)=t+1/t，由均值不等式t≥2√t/t=2，当且仅当t=1时取等号 但t≥a²，当a²≤1时，f(x)≥2，当a²>1时，f(x)=a²+1/a²≥2 最小值为2（当且仅当a=1时取到）

（二）导数应用进阶技巧

1. 极值点存在性验证 例：求f(x)=x³-3x²+2在[0,3]上的最值 解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2) 临界点x=0,2∈[0,3] 计算f(0)=2，f(2)=8-12+2=-2，f(3)=27-27+2=2 经二阶导数检验，x=0处f''(0)=-6<0为极大值点，x=2处f''(2)=6>0为极小值点 故最大值2，最小值-2

2. 参数最值分离法 例：求f(x)=x²+(2-a)x+3在[-1,2]上的最值 解：顶点横坐标x=(a-2)/2 当顶点在区间内即-1≤(a-2)/2≤2 → -2≤a≤6 此时最大值在端点处，最小值在顶点处 当顶点不在区间时，需比较端点值 通过分类讨论可得： 当a≤-2时，f(-1)=5+a，f(2)=7-2a，最大值7-2a，最小值5+a 当-2<a≤6时，最大值max{f(-1),f(2)}，最小值f((a-2)/2)= (a²-4a+4)/4 + (2-a)(a-2)/2 +3 = (a²-6a+17)/4 当a>6时，最大值f(-1)=5+a，最小值f(2)=7-2a

（三）三角函数最值突破路径

1. 辅助角法的深度应用 例：求f(x)=2sinx+3cosx+1在[0,2π]上的最值 解：转化为Rsin(x+α)+1形式，其中R=√(2²+3²)=√13，α=arctan(3/2) 最大值=√13+1，最小值=-√13+1

2. 多角