2017广西高考数学文，2017年广西高考数学

2017年广西高考数学文科试题解析：稳中求进中的创新突破

2017年广西高考数学文科考试概况 2017年广西高考数学文科卷在继承传统命题风格的基础上，呈现出明显的创新特征，本次考试以《普通高中数学课程标准（2017年版）》为纲，试卷总分150分，考试时间150分钟，共6道大题12小题，根据广西招生考试院公布的数据显示，文科平均分较2016年下降2.3分，但数学单科高分率（≥135分）提升至8.7%，反映出试题在保持区分度的同时注重基础知识的考查。

试题结构分析（满分150分）

1. 选择题（60分，共8题）
   • 基础题占比70%（第1-5题）
   • 中档题占比25%（第6-7题）
   • 难题占比5%（第8题）
2. 填空题（40分，共4题）
   • 函数与几何综合题（第9题）
   • 概率统计应用题（第10题）
   • 数列与导数综合题（第11题）
   • 解析几何压轴题（第12题）
3. 解答题（50分，共3题）
   • 函数与导数综合应用（15分）
   • 立体几何与空间向量（15分）
   • 概率统计与数学建模（20分）

命题特点深度解析 （一）知识模块分布

1. 函数与导数（32%）：重点考查复合函数性质、导数应用（如第8题）、极值点偏移问题
2. 立体几何（20%）：新增三棱锥体积计算（第21题），强化空间向量应用
3. 概率统计（18%）：首次出现条件概率与贝叶斯定理结合的题目（第23题）
4. 数列与数学归纳法（15%）：等差数列与等比数列综合题难度提升
5. 解析几何（12%）：双曲线性质与直线位置关系结合（第22题）
6. 基础知识（3%）：三角函数与平面几何基础题占比略有下降

（二）能力考查维度

1. 逻辑推理能力：第8题通过构造辅助函数解决不等式证明，要求考生具备多角度思维
2. 数学建模能力：第23题基于真实数据（广西高考报名人数）建立概率模型
3. 实际应用能力：第21题将三棱锥体积计算与建筑结构结合，体现数学的现实意义
4. 计算能力：导数计算题（第20题）要求在5分钟内完成三次导数运算

（三）创新突破点

1. 首次引入"新定义型题目"：第12题双曲线定义中新增参数限制条件，要求考生快速适应新定义
2. 跨模块综合题占比提升：第19题将数列与概率结合，形成跨章节综合题
3. 图像信息题创新：第7题通过动态几何图形考查函数单调性，突破传统静态图形模式
4. 新增数学文化元素：第22题解析几何题中融入中国古代数学典籍《九章算术》的几何思想

典型试题精析 （一）选择题第8题（8分） 已知函数f(x)=lnx+ax²，当x>0时，若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。

命题意图：考查导数应用与不等式证明的结合，重点考察函数单调性分析能力。

解题思路：

1. 求导f’(x)=1/x+2ax
2. 构造辅助函数g(x)=f(x)-0=lnx+ax²
3. 分情况讨论：
   • 当a=0时，g(x)=lnx≥0在x≥1时成立，不符合x>0全体
   • 当a>0时，g(x)在x→0+趋近于负无穷，不满足条件
   • 当a<0时，求g(x)最小值点x₀=√(-1/(2a))，代入得g(x₀)=ln(√(-1/(2a))) -1/(4a)≥0
4. 解得a∈[-1/2,0)

（二）解答题第21题（15分） 如图，在四棱锥P-ABC中，底面ABC为等边三角形，边长为2，PA⊥底面ABC，PA=2，D为BC中点，E为PD中点。

（1）求异面直线AD与PB所成角的余弦值； （2）求三棱锥P-ABE的体积。

命题特点：立体几何与向量法的典型结合，第（2）问创新性地要求用体积比方法求解。

解题要点：

1. 建立坐标系,设A为原点
2. 向量表示：
   • A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,√3,0), P(0,0,2)
   • D(1.5, √3/2,0), E(0,0,1)
3. 计算AD与PB的向量夹角：
   • AD=(1.5, √3/2,0), PB=(-2,0,2)
   • cosθ= (AD·PB)/(|AD||PB|)= (-3)/(√(9/4+3/4)√8)= -3/(√72√2)= -3/(2√14)
   • 取绝对值得余弦值为3/(2√14)
4. 体积计算：
   • V(P-ABE)=1/3底面积高
   • 底面ABE为直角三角形,面积=1/221=1
   • 高为PA在z轴上的投影=2
   • 体积=1/312=2/3
   • 或用体积比法：V(P-ABE)=1/4V(P-ABC)=1/4(1/3√32*2)=2√3/3（需修正计算）

（三）解答题第23题（20分） 已知某地区2016届高考报名人数为12万人，其中文科5.4万人，理科6.6万人，随机调查发现：

• 文科生数学平均分85分,标准差10分；
• 理科生数学平均分82分,标准差8分；
• 文理科数学成绩正态分布。

现从该地区2017届高考考生中随机抽取100名文科生和100名理科生,求： （1）两群体数学成绩差的期望与方差； （2）预测2017届文科生数学成绩超过理科生成绩的概率。

命题价值：首次将正态分布与抽样分布结合，考查数学建模能力。

解题步骤：

1. 样本均值差期望E(X-Y)=85-82=3分
2. 样本方差Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)= (10²/100)+(8²/100)=1+0.