2017高考理数一卷，2017年高考理一卷数学

2017高考数学理科全国卷Ⅰ试题分析及备考启示

试题整体情况概述 2017年高考数学理科全国卷Ⅰ（以下简称"2017全国卷Ⅰ理数"）作为高考改革背景下首套统一命题的全国卷，以"稳中有变"为命题原则，在继承传统命题思路的基础上，注重考查学生的数学核心素养，本卷共8道大题，涵盖集合与函数、立体几何、概率统计、导数与数列、解析几何等核心模块，总分为150分，平均分较往年略有下降，但区分度保持在0.65以上,有效实现了高考选拔功能。

试题结构特征分析 （一）题型分布与分值权重

1. 选择题（40分,4道大题）
2. 填空题（30分,2道大题）
3. 解答题（80分，4道大题） 其中解答题按难度梯度设置为：12题（12分）→13题（14分）→14题（16分）→15题（18分），形成典型的"阶梯式"难度分布，值得关注的是，12题（立体几何）与15题（导数）的赋分比例（12:18）较往年有所调整,体现对空间想象能力与理性思维的双重侧重。

（二）知识模块考查权重 根据对全国卷Ⅰ的考点分布统计（表1），各模块分值占比呈现以下特征： | 知识模块 | 分值占比 | 年份对比（2016/2017） | |----------------|----------|-----------------------| | 函数与导数 | 34% | ↑2% | | 解析几何 | 28% | ↓3% | | 立体几何 | 12% | ↔ | | 概率统计 | 16% | ↓1% | | 三角函数 | 10% | ↔ |

数据表明，导数与函数模块的分值占比首次突破30%，解析几何略有下降，概率统计保持稳定，这反映出命题组对"新高考数学核心素养"的贯彻,即强化数学建模与数学抽象能力。

典型试题深度解析 （一）选择题第8题（函数与方程综合）已知函数f(x)=x³-3x²-9x+a，若f(x)在区间[-1,2]上为增函数，则a的取值范围是（）。 A.[-3,6] B.(3,6] C.(6,∞) D.(∞,-3) 解析：本题考查函数单调性与导数应用的综合，解题关键在于准确求解导函数f'(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)，并分析其符号变化，正确解答应结合闭区间[ -1,2]内导函数的零点分布（x=-1,3），发现该区间内导函数始终≤0，故f(x)在[-1,2]上单调递减，与题设矛盾，因此需要调整参数a，使得函数图像在指定区间内满足递增条件，通过构造辅助函数g(x)=f'(x)+3=3x²-6x-6，求解g(x)≤0的解集，最终得到a∈(6,∞)。

（二）填空题第4题（立体几何）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱AA₁=4，点D为CC₁的中点，求异面直线AD与B₁C的所成角。 解析：本题创新性地考查空间向量应用，需建立三维坐标系，设A(0,0,0)，则B(2,0,0)，C(1,√3,0)，A₁(0,0,4)，B₁(2,0,4)，C₁(1,√3,4)，D(1,√3/2,2)，向量AD=(1,√3/2,2)，B₁C=(-1,√3,-4)，通过计算两向量的夹角余弦值cosθ=|AD·B₁C|/(|AD||B₁C|)= (1(-1)+√3/2√3+2(-4))/[√(1+3/4+4)√(1+3+16)] = (-1+3/2-8)/[√(5.75)√20] = (-6.5)/(√(115/4)√20) = (-13/2)/[(√115/2)2√5)] = -13/(√115√5) ≈ -0.928，故所求角为arccos(0.928)≈21.7°，但需注意异面直线夹角取锐角，故答案为arccos(13/√575)=arccos(13√575/575)。

（三）解答题第14题（概率统计）在数学文化活动中，某校从高一到高三的12名学生中随机选取4人，已知这4人中至少有1名高三学生，求： （1）高三学生恰好有1人的概率； （2）高三学生至多有2人的概率。 解析：本题创新设置条件概率情境，需运用组合数计算，总样本空间为C(12,4)=495，满足条件的样本空间为C(12,4)-C(9,4)=495-126=369。 （1）恰好1名高三学生的组合数为C(3,1)C(9,3)=384=252，故概率P1=252/369=28/41； （2）至多2名高三学生即0、1、2名，其中0名为C(9,4)=126，1名为252，2名为C(3,2)C(9,2)=336=108，总样本数126+252+108=486，故概率P2=486/369=54/41（此处需修正，实际应为486/369=162/123=54/41≈1.317，显然错误，正确计算应为满足条件的总样本为369，其中至多2名高三学生的组合数为C(3,0)C(9,4)+C(3,1)C(9,3)+C(3,2)C(9,2)=1126+384+3*36=126+252+108=486，但486已超过总样本369，明显逻辑错误，正确解答应