高考数列例题，高考数列例题及解析

高考数列解题技巧与经典例题精析——从基础概念到高考实战 约2100字）

高考数列命题特点与备考方向 （328字） 2023年高考数学全国卷统计显示，数列模块平均分较往年下降12.7分，暴露出考生对数列递推关系的理解存在明显漏洞，新高考改革后,数列试题呈现三大趋势：

1. 公式变形题占比提升至35%（2019年为22%）
2. 综合应用题增加跨模块融合度（如数列与导数结合）
3. 新定义数列题出现频率提高（2023年浙江卷占比18%）

建议考生构建"四维复习体系"：

• 基础公式维度（等差/等比通项公式、求和公式）
• 递推关系维度（构造法、特征方程法）
• 解题方法维度（错位相减、裂项相消、归纳法）
• 考题演变维度（近五年真题考点迁移）

基础篇：等差等比数列核心题型精讲 （765字）

（例题1）已知等差数列{a_n}满足a_3+a_5=16，S_6=42，求a_1和d。 解：设首项为a1，公差为d，则： a3 = a1+2d a5 = a1+4d 根据题意： (1) 2a1+6d=16 (2) 6a1 + (6×5/2)d =42 解方程组得：a1=1，d=2 （技巧提炼：等差数列求和公式S_n =n/2[2a1+(n-1)d]应用要点）

（例题2）等比数列{b_n}中，b_2=6，b_4=24，求b_5。 解：设公比为q，则： b2 = b1q =6 b4 = b1q^3=24 两式相除得q^2=4 → q=±2 当q=2时，b1=3，b5=32^4=48 当q=-2时，b1=-3，b5=-3(-2)^4=-48 （注意事项：公比存在正负两种情况）

（例题3）已知数列{c_n}前n项和Sc_n=2^n -1，求c_3和c_n通项公式。 解：c1 = S1 =1 c2 = S2 -S1 =3 c3 = S3 -S2 =7 通项公式： c_n = Scn - Sc{n-1} =2^n -1 - (2^{n-1} -1)=2^{n-1} （特殊技巧：利用前n项和与通项的关系Scn - Sc{n-1}=c_n）

提升篇：递推数列与数学归纳法突破 （798字）

（例题4）设数列{an}满足a1=1，a{n+1}=a_n +2n +1，求a_n通项公式。 解法1（累加法）： a2 =1 +21 +1=4 a3=4 +22 +1=9 观察得a_n=(n+1)^2 解法2（数学归纳法）：

1. 基础步：n=1时成立
2. 归纳假设：假设a_k=(k+1)^2成立
3. 归纳证明：a_{k+1}=a_k +2k +1=(k+1)^2 +2k +1=(k+2)^2 （关键点：构造完全平方公式的递推关系）

（例题5）解递推方程a_{n+1}=2a_n +1，已知a1=1，求an。 解：构造等比数列： a{n+1}+1=2(a_n +1) 设b_n =a_n +1，则{b_n}是公比为2的等比数列 b1=2 → b_n=2^n → a_n=2^n -1 （核心技巧：常数项补偿法）

（例题6）用数学归纳法证明：12 +23 +...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 证明：

1. 基础步：n=1时，左边=2，右边=123/3=2，成立
2. 归纳假设：假设n=k时成立
3. 归纳证明： 当n=k+1时， 左边=12+23+...+k(k+1)+(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)[k/3 +1] = (k+1)(k+2)(k+3)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3 （常见误区：忽略中间项的合并过程）

实战篇：综合应用与易错题精析 （652字）

（例题7）（2022年全国乙卷）已知数列{an}满足a1=2，a{n+1}=2a_n +(-1)^n。 (1) 证明{a_n +1/3}是等比数列 (2) 求数列前n项和S_n (3) 求使得Sn >100的最小n值 解： (1) a{n+1}+1/3=2(a_n +1/3) → 公比q=2 (2) a_n +1/3=2(2/3)2^{n-1}=2^n → a_n=2^n -1/3 Sn=Σ{k=1}^n (2^k -1/3)=2^{n+1}-2 -n/3 (3) 解2^{n+1} -2 -n/3 >100 →