高考数学最后一道题，1984年高考数学最后一道题

最后的防线

高考的铃声，像一条骤然绷紧又倏然松弛的弓弦，在空气中震颤出无声的轰鸣，教室里，笔尖划过纸张的沙沙声，是此刻唯一的交响，春蚕啃食桑叶般细密，又似潮水退去时在沙滩上留下的悠长叹息，数学试卷的最后一道题，就摊在桌面的右下角，如一头蛰伏的巨兽，睁着冰冷的眼睛,静静等待着猎物的靠近。

题干简洁得近乎冷酷：“设函数f(x) = e^x - ax - 1，其中a为实数，若函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，求实数a的取值范围。” 字里行间没有一丝多余的情感，只有冰冷的符号和严苛的逻辑，像一道用钢铁铸就的闸门，将通往理想彼岸的道路拦腰截断，头顶的电风扇不知疲倦地旋转，发出单调的嗡鸣，搅动着这令人窒息的寂静,仿佛连时间都在此刻凝固。

我的目光，如同一艘迷失在浓雾中的小船，在函数、导数、单调递增这些术语的礁石间艰难地穿行，e^x，这个以自然常数e为底的指数函数，它像一匹桀骜不驯的野马，在坐标系里以令人惊叹的速度向上奔腾，展现出无与伦比的活力与扩张性，而-ax，则是一条斜率为-a的直线，它像一根无形的缰绳，试图驯服这匹野马，让它按照既定的轨迹奔跑，常数项-1，更像是一个微不足道的标点，在宏伟的函数图像上轻轻一点，却足以改变整个故事的基调,让这场追逐充满了变数与悬念。

“单调递增”，这四个字是题目的核心，也是唯一的线索，它意味着，在从0到正无穷的广阔区间内，函数f(x)的每一次抬升，都必须是坚定而持续的，绝不能有丝毫的回落，这让我想起了攀登一座没有尽头的山峰，攀登者必须一步一个脚印，只许上，不许下，而导数，正是那条衡量山坡陡峭程度的标尺——导数大于零，意味着山坡向上；导数等于零，意味着抵达短暂的平地；导数小于零，则意味着开始下滑，要保证函数在整个区间上单调递增,就必须保证它的导数在这个区间内始终大于或等于零。

思路豁然开朗，对f(x)求导，得到f'(x) = e^x - a，问题便转化为：在区间(0, +∞)上，e^x - a ≥ 0恒成立，也就是说，a必须小于或等于e^x在所有x > 0时的取值，这就像一场拔河比赛，a是一个固定的重量，而e^x则是一个随着x的增大而不断变强的对手，我们要求的是，无论这个对手变得多么强大，a都必须比它更轻,才能确保绳子永不向对手那端滑去。

e^x在区间(0, +∞)上的最小值是多少呢？我再次审视这个指数函数，当x趋近于0时，e^x趋近于1；随着x的增大，e^x开始迅速攀升，向着无穷大的方向飞去，它的图像从点(0,1)出发，像一支离弦的箭，义无反顾地射向天空，在开区间(0, +∞)内，e^x的最小值，实际上是它在x趋近于0时的极限值1，它永远无法达到1，但却无限地接近1,并且永远大于1。

为了满足a ≤ e^x对所有x > 0都成立，a就必须小于或等于这个“下限”，如果a大于1，比如a=2，那么当x取一个很小的正数，比如x=0.1时，e^0.1约等于1.105，此时a=2 > 1.105，不等式便不成立了，函数图像会在这一处出现短暂的下滑，违背了“单调递增”的誓言，只有当a ≤ 1时，a才能永远“躲”在e^x的身后，确保e^x - a始终非负，让那匹野马始终昂扬着头颅,奔腾不息。

我拿起笔，在草稿纸上写下最终的答案：a ≤ 1，笔尖与纸张接触，发出清脆的声响，像一声胜利的号角，窗外的阳光似乎变得更加明亮了，透过玻璃，在桌面上投下温暖的光斑，那道曾经像巨兽般狰狞的难题，此刻已温顺地匍匐在我的笔下,露出了它温顺而清晰的真实面目。

我抬起头，环顾四周，同学们依旧埋首于各自的战场，有的眉头紧锁，仿佛在与一道无形的墙角力；有的奋笔疾书，笔尖在纸上跳跃出希望的音符；有的则和我一样，刚刚结束了一场思维的搏斗，脸上带着一丝疲惫，也带着一丝释然，这场无声的战争，终于接近了尾声，最后一道题，它不仅仅是一个分数，更是一道防线，考验着我们的逻辑、耐心与面对困境时的勇气，它让我们明白，在通往未来的道路上，总有一些看似无法逾越的高山，但只要我们冷静分析，找到关键的支点，就能一步步攀登,最终看到山巅那片豁然开朗的风景。

铃声再次响起，这一次，它不再是催促，而是宣告战斗结束的号角，我放下笔，将答案工整地誊写在答题卡上，心中一片澄明，如同雨后的天空，清朗而开阔，这最后的防线,我守住了。