高考数学每日一题，高考数学每日一题2026石头

在函数的褶皱里，窥见高考数学的星辰大海

当清晨的第一缕阳光,如同利剑般斜斜地切过教室的窗棂，恰好落在摊开的数学练习册上时，那道被标记为“每日一题”的函数题，便瞬间苏醒，它像一颗被精心打磨的钻石，在习题的海洋中折射出高考数学独有的、既冷峻严谨又璀璨迷人的光芒，它并非孤立的知识点堆砌，而是一场思维的探险，一次在逻辑密林中的穿行，当我们拨开层层迷雾，抵达的将是豁然开朗的星辰大海，这道题，或许只是万千函数图像中一个微不足道的褶皱，但正是这细微的褶皱，蕴藏着数学思维的精髓，更藏着通往理想大学的钥匙。

这道题是这样的：已知函数 ( f(x) = \frac{\ln x}{x^2 + a} ) （( a > 0 )）在区间 ([1, +\infty)) 上单调递减，求实数 ( a ) 的取值范围。

初看之下,它像一位素未谋面的陌生人，带着对数函数的神秘、二次函数的稳健与参数 ( a ) 的不确定感，静静地躺在那里，不露声色，但一位备战高考的学子而言，这不仅仅是一道题，更是一场对话，一场与函数性质、导数工具、逻辑推理的深度对话。

第一步：破译“单调递减”的密码

我们需要理解题目的核心诉求——“单调递减”，这是对函数“性格”的一种宏观描述，它告诉我们，随着自变量 ( x ) 的增大，函数值 ( f(x) ) 会随之减小，在高中数学的语境中，描绘函数“性格”最犀利的工具，莫过于导数，导数的正负，直接对应着函数的增减，将“单调递减”这一宏观的定性描述，转化为“导数小于或等于零”这一微观的定量分析，便成了我们解题的第一步，也是思维破茧的关键。

第二步：踏上求征途，直面复杂的导数

我们开始求导,函数 ( f(x) = \frac{\ln x}{x^2 + a} ) 是一个分式函数，分子是 ( \ln x )，分母是 ( x^2 + a )，根据导数的除法法则（商的导数法则）：

[ f'(x) = \frac{(\ln x)'(x^2 + a) - \ln x \cdot (x^2 + a)'}{(x^2 + a)^2} ]

计算分子部分：

• ( (\ln x)' = \frac{1}{x} )
• ( (x^2 + a)' = 2x )

将其代入,得到： [ f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x^2 + a) - \ln x \cdot (2x)}{(x^2 + a)^2} ]

化简分子： [ \frac{x^2 + a}{x} - 2x \ln x = x + \frac{a}{x} - 2x \ln x ]

导数为： [ f'(x) = \frac{x + \frac{a}{x} - 2x \ln x}{(x^2 + a)^2} ]

第三步：化繁为简，聚焦核心

问题转化为：在区间 ([1, +\infty)) 上，( f'(x) \leq 0 )。

我们观察分母 ( (x^2 + a)^2 )，由于题目给定 ( a > 0 )，且 ( x \in [1, +\infty) )，所以分母 ( (x^2 + a)^2 ) 永远是正数，一个分数的符号由其分子决定，我们只需确保在 ([1, +\infty)) 上，分子 ( g(x) = x + \frac{a}{x} - 2x \ln x \leq 0 )。

至此,问题似乎被简化了，但真正的挑战才刚刚开始，我们得到了一个新的函数 ( g(x) )，要求它在 ([1, +\infty)) 上非正，这又是一个函数单调性的问题，我们似乎需要再次求导，分析 ( g(x) ) 的性质，这便是数学思维的魅力所在——它像一座环环相扣的迷宫，每走出一步，都会发现新的路口，引领我们向更深处探寻。

第四步：深入迷宫，探寻函数 ( g(x) ) 的本质

我们对 ( g(x) ) 求导： [ g'(x) = (x)' + \left(\frac{a}{x}\right)' - (2x \ln x)' ] [ g'(x) = 1 - \frac{a}{x^2} - \left[2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x}\right] ] [ g'(x) = 1 - \frac{a}{x^2} - 2 \ln x - 2 ] [ g'(x) = -1 - \frac{a}{x^2} - 2 \ln x ]

我们需要分析 ( g'(x) ) 的符号，观察 ( g'(x) = -1 - \frac{a}{x^2} - 2 \ln x )：

• 由于 ( a > 0 ) 且 ( x \geq 1 )，( \frac{a}{x^2} > 0 )。
• ( \ln x \geq 0 )（当且仅当 ( x=1 ) 时取等号）。

( -1 ) 为负数，( -\frac{a}{x^2} ) 为负数，( -2 \ln x ) 为非正数，三个非正数相加，其和必然小于或等于零，也就是说，在 ([1, +\infty)) 上，( g'(x) \leq 0 )。

第五步：柳暗花明，遭遇逻辑的“陷阱”

这个结论至关重要。( g'(x) \leq 0 ) 意味着函数 ( g(x) ) 在 ([1, +\infty)) 上是单调不增的，一个单调不增的函数，它在区间左端点的值，决定了它在整个区间的最大值，如果它在 ( x=1 ) 处都小于或等于零，那么在整个区间内，它必然都小于或等于零，这就像一座连绵不绝的山脉，如果它的最高峰的海拔都没有超过海平面，那么整座山脉就都在海平面之下了。

我们只需要计算 ( g(x) ) 在 ( x=1 ) 处的值，并使其小于或等于零： [ g(1) = 1 + \frac{a}{1} - 2 \cdot 1 \cdot \ln 1 = 1 + a - 0 = 1 + a ]

根据我们的推理,需要 ( g(1) \leq 0 )，即 ( 1 + a \leq 0 )，解得 ( a \leq -1 )。

这个结果与题目给出的前提条件“( a > 0 )”产生了尖锐的矛盾，这究竟意味着什么？是我们的逻辑链条出现了断裂，还是题目本身就是一个无解的悖论？

不,这恰恰是这道“每日一题”最精妙的设计之处，它没有让我们在一条平坦的大道上直行，而是故意设置了一个逻辑的“陷阱”，迫使我们停下来，审视每一个环节，检验每一条假设，当推导结果与已知条件相悖时，我们不能简单地宣布失败，而应该回头思考：我们的推理过程，是否存在可以被优化的地方？

第六步：绝境逢生，重新审视边界条件

让我们重新审视 ( g'(x) \leq 0 ) 这个结论，我们得出 ( g(x) ) 在 ([1, +\infty)) 上单调不增，它的最大值确实在 ( x=1 ) 处取得，是否存在一种特殊情况，即 ( g(x) ) 在 ([1, +\infty)) 上恒等于零呢？( g(x) \equiv 0 )，( g'(x) \equiv 0 )，从而 ( f'(x) \equiv 0 )，( f(x) ) 在整个区间上是常数函数，常数函数既不增也不减，满足“单调递减”的定义（在数学中，单调递减包含非严格递减，即常数函数的情况）。

是否存在 ( a > 0 )，使得 ( g(x) \equiv 0 ) 呢？( g(x) = x